Question

高等数学的几个积分问题

题一：求∫L xy dx,L为抛物线Y^2=X上从点A(1,-1)到B(1,1)的一段弧

题二：求∫∫D (X+Y)dXdY,其中D是圆X^2+Y^2<=X的内部

题三：计算∫∫S (X^2+Y^2)dS,其中S为立体(X^2+Y^2)^(1/2)<=Z<=1的边界

求教过程和解题思路，谢谢！
无

Answer 1

题一:因为Y^2=X 所以2ydy=dx 所以∫L xy dx=∫(y^3)2ydy 积分区间为-1〈y〈1
∫L xy dx=∫(y^3)2ydy=4/5

题二；X^2+Y^2≤X 所以(x-1/2)^2+(y)^2≤1/4
不妨设X=Pcos(t) y=Psint(t) 0≤p≤1/4 0≤t≤2pi
所以∫∫{[Pcos(t)+Psin(t)]p}dpdt, 所以积分区间为 0≤p≤1/4 0≤t≤2pi 再分步积分，得到答案

题三；(X^2+Y^2)^(1/2)<=Z<=1 因为(X^2+Y^2)^(1/2)<=Z<=1 是一个抛物面
和Z=1平面组成的曲面，所以设其体积为V,所以V也可以看成一个圆柱体的体积V1(Z=0，Z=1,(X^2+Y^2)^(1/2)=1）和一个曲体积V2[Z=0，Z=(X^2+Y^2)^(1/2)]这2个体积差，因为V1=π*1^2*1=1,V2的体积由曲面积分的公式可以类似第2题一样得到，所以V=V1-V2