Question

已知ab=1/4 a,b∈(0,1),则1/(1-a) 2/(1-b)的最小值为

Answer 1

解： a,b均为正数，且a+2b=1. 【1】 由题设及基本不等式可得 1=a+2b≥2√(2ab) 等号仅当a=1/2, b=1/4时取得。 ∴恒有2√(2ab)≤1 ∴恒有：1/(2ab)≥4. ∴式子：{[1/(2ab)]-1}²-1≥8 即在题设条件下，式子{[1/(2ab)]-1}²-1的最小值=8 【2】 在题设条件a+2b=1下， 原式=（a²+4b²)/(4a²b²) =[(a+2b)²-4ab]/(4a²b²) =(1-4ab)/(4a²b²) =[1/(2ab)]²-2[1/(2ab)] ={[1/(2ab)]-1}²-1. ∴原式≥8 ∴原式的最小值=8

Answer 2

解：(1-a)^2/b+(1-b)^2/a=-4方程两边同时乘以ab得
a(1-a)^2+b(1-b)^2=-4ab
a+b=2,a=2-b代入上式有：
(2-b)(b-1)^2+b(1-b)^2=-4b(2-b)
2(b-1)^2=-8b+4b^2
2b^2-4b+2=-8b+4b^2
2b^2-4b-2=0
b^2-2b-1=0
(b-1)^2=2,b=1+根号2或b=1-根号2
当b=1+根号2时，a=2-b=1-根号2
ab=1-2=-1
当b=1-根号2时，a=2-b=1+根号2
ab=1-2=-1综合即ab=-1,
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