Question

线性代数题目 第10题求解答

Answer 1

（1）
假设存在不全为0的系数ki，使得
k0η* + k1ξ1+k2ξ2+...+k_n-rξ_n-r=0【1】
则A(k0η* + k1ξ1+k2ξ2+...+k_n-rξ_n-r) = 0(零向量)
即k0Aη* + k1Aξ1+k2Aξ2+...+k_n-rAξ_n-r = 0
也即k0b + 0 + 0 + ... +0 =0

则k0b=0
因为b不为0，则k0=0
代入【1】式，再根据基础解系ξi线性无关，可以解得
k1= k2=...= k_n-r=0

这与假设（系数ki不全为0）矛盾！

因此η* ，ξ1，ξ2，...,ξ_n-r线性无关

（2）

(η* ，η* +ξ1，η* +ξ2，...,η* +ξ_n-r) = (η* ，ξ1，ξ2，...,ξ_n-r)*

1 1 1 ... 1
0 1 1 ... 1
0 0 1 ... 1
...
0 0 0 ... 1

记上式中矩阵为B，显然B可逆，因此
向量组η* ，η* +ξ1，η* +ξ2，...,η* +ξ_n-r
与向量组η* ，ξ1，ξ2，...,ξ_n-r等价（可以相互线性表示）
因此，两向量组的秩相等，因为η* ，ξ1，ξ2，...,ξ_n-r线性无关，秩为n-r
则向量组η* ，η* +ξ1，η* +ξ2，...,η* +ξ_n-r秩也为n-r，因此该向量组也线性无关。

追问

第二题有些不懂 能解释下嘛?

Answer 2

1.反正，若线性相关，则enta 是对应齐次的解2。这个向量组和1中向量组等价