Question

一道高三的导函数大题，老师讲的有一点没听懂，求大神解释一下，就是第二问分离参数后，m应该小于右边式

一道高三的导函数大题，老师讲的有一点没听懂，求大神解释一下，就是第二问分离参数后，m应该小于右边式子的最小值，为什么突然就由洛必达法则就可以说m小于右边式子在x=0处的极限了？洛必达法则不是用来求0/0和∞/∞型不定式的么，怎么就由洛必达法则该式最小值就可以等于该极限了呢？我老师说因为那个式子连续可导而且在x=0处收敛，可是我记得收敛的定义是出现在判断数列敛散性里面的，而且收敛于某某不就是说某某就是极限值么？这跟我问的问题(为什么式子最小值就是这个极限)有关系么？麻烦大神们讲的通俗一点，我是高三狗，不是正规的大学生喵，也没准备高考用高等数学做，就是单纯想弄明白为什么最小值就是这个极限了，至于后面运用洛必达法则连续求导就不用解释了，那个我听懂了

Answer 1

这里，应该由导函数解释一下画波浪线部分的单调性，才能够说明x→？达最小值，再考虑罗必塔法则用极限求最值。
不过，此题，当x→+0时，分子→-1喔
好像有问题 。

追答

不符合罗必塔法则

追问

也就是说，即便是符合罗必塔法则的0/0型，也还是要先求导判断单调性咯？

可是如果判断单调性的话，不就知道极值了么，那么再用罗必塔法则又有什么意义呢？

追答

嗯。题目需要最值，当然得判断取最值的时候

追问

今天班主任又做了一道类似的，他说(罗必塔法则不光可以求式子的最小值，还可以求最大值，而且只要符合0/0或是∞/∞型的，你用洛必达法则求出来的都一定是你想要的)

我觉得他说的好不严密，但是找不到反例反驳他…

不过，听你的意思是他这样做题是不规范的吧，无论是在高等数学还是初等数学里

而且我觉得出题人费尽心机捣鼓出来的导函数压轴让一个洛必达法则给破了，怎么都不应该给分啊

不过你的分要给啦，谢谢咯

追答

对，问题就在于，什么时候取最值。
罗必塔法则，只是解决了某处极值而已。

追问

极值？

你说的是极值还是某处的极限？

追答

差不多吧，有一点区别

追问

高二老师说过，极值可能是最值，最值也可能不是极值，两者要看所取函数段的单调性，这才是我质疑我老师的

而且我总觉得，罗必塔法则求出来的极限值，是不是某个极值(函数图像转折点的函数值)呢？

，，，果然么，那么请问区别在哪里呢？

追答

最值一定是极值，极值不一定是最值。
而极限值，不一定是函数值。
当极限值等于函数值时，则函数连续（这一点高中不要求）

追问

补充一点，最值不一定是极值，例如单调函数在某一闭区间上的最值为区间两端点所对函数值，而不符合极值的定义

初等函数都是连续可导的，这点我了解

极限值不一定等于函数值，这个我先记下了，似乎有点难理解

总之，多谢大神不吝赐教！

追答

最值一定是极值喔。