Question

高数下曲面积分

高数下曲面积分分割曲面一共分割成四个曲面，参考答案直接说分别x=0，y=0，z=0时，曲面积分为0，这个0是怎么算出来的呢？我附了一张我书写的，但是当z=0时，在xoy平面投影就不为0了，这样结果也就不为0了，

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Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

你这样的写法是不对的，题目上说的是xzdxdy+xydydz+yzdzdx，这表明这个二维曲面在空间任意一点处都有3个方向的通量，而在你的解法里面你统统写成了(xz+xy+yz)dxdy，这就是说这个曲面只有在垂直于xoy平面的方向上有通量，这两个是不一样的。

实际上，这个曲面是由四部分组成的，所以我们计算要分成四部分。其中x=0,y=0,z=0，就是坐标面的一部分，这3个很好解。比方说x=0, 那么dx=0, 把这个代进去有xzdxdy+xydydz+yzdzdx=0，所以积分肯定就是0；y=0,z=0时类似。还有一部分是x+y+z=1，这时可以反解出z=1-x-y，那么就有dz=-dx-dy，把这两个代进去，你就会得到一个普通的二重积分，直接算就行了。

我学得你混淆了二重积分和曲面积分的不同。

追问

不是可以根据两类曲面积分之间的联系，都可以转化成dxdy形式吗？

追答

嗯，你说的对，这是计算见曲面积分的关键。可是从你的解法中，我没有看出你用了关系式将曲面积分转化成重积分。

追问

嗯嗯，我没有拍到我前面的步骤，谢谢。你看看最上面的那道题，z与x，y均没有关系，z对x求导为0，对y求导为0对自身求导为1，这样cosα=0，cosβ=0，cosγ=1，利用关系转换成只有zdxdy，可是z是常数在xoy平面投影为0，结果为0了，显然与事实不符。

第三题的第(2)小题，最上面的那道题

谢谢

追答

这一题不能投影到xoy平面，因为你这个曲面是垂直于 xoy平面的，你把它投到xoy平面上，会有重点发生，并不能得到一个一一对应。你只能投影到yoz或者xoz平面，比方说，你投影到xoz平面的话，可以解出y=sqrt(1-x^2)， dy=-x/sqrt(1-x^2)，再确定x和z的范围就可以了。

追问

原来投影还要有讲究啊，我以为根据两类曲面积分联系可以随便投影……

重点是什么意思?是两个以上的点对应一个投影点吗？

追答

嗯，对的，肯定要一一对应的。就比如你这题投到xoy平面上的话，曲面直接就变成曲线了，这肯定不行的。

Answer 3

你说的第几题啊

追问

是第3题的第(4)小题，也即第4题上面的那一题。