Question

一个质量为m的小球从高h处静止释放，每次与地面碰撞时为弹性碰撞，空气阻力衡为f。

求：从释放到最终停在地面上运动的时间。

Answer 1

从开始下落，到第一次弹回到最高点——设此时小球高度为h1，克服阻力做的功，等于重力势能的减小:

f(h+h1)=mg(h-h1) <1>
-->h1=[(mg-f)/(mg+f)]*h=k*h-->
h[1]=k*h <2>
，其中k=(mg-f)/(mg+f)是小于1的常数；
第二次从h1高处下落再弹回，上升的最高点高度h[2]，完全类似的有
h[2]=k*h[1] <3>-->h[2]=k^2*h
归纳得到，第n-1次下落到弹回最大高度h[n]:
h[n]=k^n*h 《4》
第一次下落所用时间为自由落体运动时间：t'=sqrt[2h/(g-a) ] 《5》 sqrt(x)表示x的平方根
其中a=f/m表示阻力产生的加速度大小，减号表示下落过程，阻力与重力反向；
第一次弹回到最高点所用时间t[1]=sqrt[2h[1]/(g+a)] 《6》加号表示上升时阻力与重力同向
再次下落t[1]'=sqrt(2h[1]/(g-a)]

以下用不带撇的表示小球碰地弹回所用时间，带撇的表示下落时间:

t[n]'=sqrt[2h[n]/(g-a)]，t[n]=sqrt[h[n]/(g+a)]

整理得到：sum(t[n]',n=1..infinity)——表示从1到无穷大求和，。。。。。

如果你学习过等比数列，就能看懂并且自己做得出结果。

Answer 2

列出一次来回的时间通项，然后求和（无限级数求和）取次数趋于无求大的极限就是总时间