已知函数fx等于㏑(x+1)/x,x属于(0,+无穷)证明fx>2/x+2
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令g(x)=f(x)-2/(x+2) x>0
g'(x)=[x/(x+1)-ln(x+1)]/x²+2/(x+2)²
=[(x+2)²(x/(x+1)-ln(x+1))+2x²]/x²(x+2)²
驻点x=0 x<0 g'(x)<0 g(x)单调递减 x>0 g'(x)>0 g(x)单调递增
∴g(0)是极小值=lim(x→0)f(x)=lim(x→0)(1/(x+1)-1=0
∴x>0时 g(x)>g(0)=0
∴fx>2/(x+2)
g'(x)=[x/(x+1)-ln(x+1)]/x²+2/(x+2)²
=[(x+2)²(x/(x+1)-ln(x+1))+2x²]/x²(x+2)²
驻点x=0 x<0 g'(x)<0 g(x)单调递减 x>0 g'(x)>0 g(x)单调递增
∴g(0)是极小值=lim(x→0)f(x)=lim(x→0)(1/(x+1)-1=0
∴x>0时 g(x)>g(0)=0
∴fx>2/(x+2)
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