求幂级数∑(∞ ,n=0)x^n/n（n+1）的收敛域与收敛半径
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解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n(n+1)/[(n+1)(n+2)]=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<1，即-1<x<1。
而当x=-1时，是交错级数，级数为∑(-1)^n/[n(n+1)]≤∑1/[n(n+1)，而后者收敛；当x=1时，收敛。
∴收敛区间为-1≤x≤1，即x∈[-1,1]。
供参考。
又lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<1，即-1<x<1。
而当x=-1时，是交错级数，级数为∑(-1)^n/[n(n+1)]≤∑1/[n(n+1)，而后者收敛；当x=1时，收敛。
∴收敛区间为-1≤x≤1，即x∈[-1,1]。
供参考。
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帕剌斯
2024-10-29 广告
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