Question

复变函数 求解此题（第4小题）

Answer 1

设z=x+iy，其中x和y都是实数。
那么sin z=sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy
又因为sin u=[exp(iu)-exp(-iu)]/2i，cos u=[exp(iu)+exp(-iu)]/2，
所以cosiy是实数，siniy是纯虚数，而且
cosiy=[exp(y)+exp(-y)]/2，siniy=[exp(-y)-exp(y)]/2i，
所以
sin z=sinx[exp(y)+exp(-y)]/2+cosx[exp(-y)-exp(y)]/2i
上式中第一项是实数，第二项是纯虚数，因此
|sin z|²=sin²x[exp(y)+exp(-y)]²/2²+cos²x[exp(-y)-exp(y)]²/2²
=sin²x[exp(2y)+exp(-2y)+2]/4+cos²x[exp(-2y)+exp(2y)-2]/4
=[exp(2y)+exp(-2y)]/4-cos2x/2