Question

线性代数中，解图片里的线性方程组！

线性代数中，解图片里的线性方程组！如果用第四个方程减第三个方程得到一个与方程一相同的方程五，那么便可以得出无解，答案却是有解，我想问一下我这样做到底是错在哪里呢？求解！！！

Answer 1

r4-r3~
1 -1 0 2 1
3 -3 0 7 0
1 -1 2 3 2
1 -1 0 4 -5 实际上这里没有化简完毕，应该继续
~ r2-3r1,r3-r1,r4-r1
1 -1 0 2 1
0 0 0 1 -3
0 0 2 1 1
0 0 0 2 -6 r1-2r2,r3-r2,r4-2r2，r3/2 交换行次序
~
1 -1 0 0 7
0 0 1 0 2
0 0 0 1 -3
0 0 0 0 0
这样得到解为c1 *(1,1,0,0,0)^T + c2 *(-7,0,-2,3,1)^T，c1c2为常数

追问

我是这个意思 方程四减方程三之后得到的方程五和方程一相比不是两个矛盾的方程吗？

追答

你觉得这就矛盾了么？
x1和x2之间有它们的关系x1=x2
而x1、x3、x4和x5之间又有一个关系式
-7x1+2x3+3x4+x5=0
这就是后一个解向量(-7,0,-2,3,1)^T

你的式5仍然满足这个向量

按你的说法，你每个式子的x1-x2消去之后，
得到的方程都是矛盾的

矩阵行变换之后，
数字发生了变化，看起来与原来的矩阵不一样
但实际上是一回事

追问

我还不太懂你说的 因为我才开始学 向量这些概念我都还不懂 我只是觉得 如果单独看方程一和方程五 两个方程我感觉根本不能共存啊 我不太懂这一点 我不知道是我哪里想错了 还请赐教

追答

别再想什么方程不能共存的玩意儿

这是线性代数，
方程的矩阵进行线性变换之后，不会产生矛盾
解出来是多少就是多少
你得到的方程五 x1-x2+4x4-5x5=0
难道就不满足(-7,0,-2,3,1)^T 么

追问

。。。

追答

x1-x2+2x4+x5=0
x1-x2+4x4-5x5=0
你的意思就是两个方程不能共存么
为什么是两个向量(1,1,0,0,0)^T ，(-7,0,-2,3,1)^T
你想想看，如果x3=x4=x5=0，
两个式子不能同时成立么？
同样，2(x1-x2+x5)=x1-x2-5x5时 （即2 *2x4=4x4）
两个式子一样同时成立

真的记住别想那么多，
矩阵进行线性变换，得到最简行矩阵

再由此写出基础解系
线性代数不是太需要概念的，进行计算即可

还不明白的话再有一点，
现在是5个未知数，只有4个方程
而且是齐次线性方程组，即都是等于0的
未知数个数 > 方程数时，方程一定有解

追问

额 让我再想一想

追答

恩，记住线性代数不是需要动太多脑筋的

Answer 2

系数矩阵 A 初等行变换为
[1 -1 0 2 1]
[0 0 0 1 -3]
[0 0 2 2 1]
[0 0 2 5 -4]
A 初等行变换为
[1 -1 0 2 1]
[0 0 2 2 1]
[0 0 0 1 -3]
[0 0 0 3 5]
A 初等行变换为
[1 -1 0 0 7]
[0 0 2 0 7]
[0 0 0 1 -3]
[0 0 0 0 14]
A 初等行变换为
[1 -1 0 0 0]
[0 0 2 0 0]
[0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 1]
A 初等行变换为
[1 -1 0 0 0]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 1]
r(A) = 4 < 5, 方程组有无穷多解。
基础解系 (1, 1, 0, 0, 0)^T
方程组通解 x = k (1, 1, 0, 0, 0)^T

追问

我是这个意思 方程四减方程三之后得到的方程五和方程一相比不是两个矛盾的方程吗？

追答

不矛盾， x3 = x4 = x5 = 0, x1 - x2 = 0

追问

请问怎么得来的啊？不太明白

追答

你没有必要考虑是否矛盾，只对系数矩阵进行初等行变换化为阶梯形，求基础解系即可。
再说了，齐次线性方程组一定有解，至少有零解。
只有非齐次线性方程组才有可能出现无解情况，即矛盾方程。

Answer 3

r<n肯定是有无穷多解的，不可能的出无解

追问

我也是这么想的啊 可是我的这种方法错在哪里呢？想不通

追答

第四行减第三行得到的矩阵

不纯在这个问题

追问

图片中的化简之后的第一行和第四行可以共存吗 不是矛盾的两个方程吗

方程的最右边的常数项都为0

我是这个意思 方程四减方程三之后得到的方程五和方程一相比不是两个矛盾的方程吗？

追答

不矛盾 其实实际上不就是消元法嘛！小学就学过的二元一次方程组，只不过现在未知数多了点

Answer 4

你计算错了

追答

方程四一方程三怎么可能跟1相同

再说解这种题目

必须化成行阶梯形矩阵

怎么可能用肉眼看

追问

我算了的 跟方程一不相同 但是会出现矛盾

不信 你可以算一下

我是这个意思 方程四减方程三之后得到的方程五和方程一相比不是两个矛盾的方程吗？