Question

微积分)求n阶导数下面两题举例一下，上课没怎么听不会做最好有公式谢谢

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Answer 1

Answer 2

求n阶导数没有统一的公式，都需要结合题目来具体分析的
（1）y=e^(ax+b)
y'=a*e^(ax+b)
y''=a^2*e^(ax+b)
......
y^(n)=a^n*e^(ax+b)
（2）y=(1-x)/(1+x)=(2-1-x)/(1+x)=2/(1+x)-1=2*[(1+x)^(-1)]-1
y'=2*(-1)*(1+x)^(-2)
y''=2*(-1)*(-2)*(1+x)^(-3)
......
y^(n)=2*(-1)^n*n!*(1+x)^(-n-1)

追问

用莱布尼茨公式怎么做啊

追答

莱布尼兹公式需要将原函数拆分成u(x)*v(x)的形式
第一道题，自变量x只出现1次，无需使用莱布尼兹公式
第二道题，y=(1-x)/(1+x)=(1-x)*(1+x)^(-1)
根据莱布尼兹公式，
y'=∑(k=0->n) C(n,k)*(1-x)的(n-k)阶导数*[(1+x)^(-1)]的k阶导数
因为(1-x)'=-1，(1-x)高于1阶的导数=0
[(1+x)^(-1)]的k阶导数=(-1)^k*k!*(1+x)^(-k-1)
所以y'=C(n,n-1)*(-1)^n*(n-1)!*(1+x)^(-n)+C(n,n)*(1-x)*(-1)^n*n!*(1+x)^(-n-1)
=(-1)^n*[n!*(1+x)^(-n)+(1-x)*n!*(1+x)^(-n-1)]
=(-1)^n*n!*[(1+x)^(-n)+(1-x)*(1+x)^(-n-1)]
=(-1)^n*n!*(1+x+1-x)*(1+x)^(-n-1)
=2*(-1)^n*n!*(1+x)^(-n-1)