Question

一道初三数学题（二次函数) 急！！

已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A（-1，0）B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）。该抛物线上有一点P，使△PAC的内心在第三象限。求P点横坐标的取值范围。

麻烦给出详细一点的解答吧...谢了...

Answer 1

解，(1)由于抛物线过点C(0，-3)，可以知道，c=-3，
A(-3,0)，B（1,0）都在x轴上，也就是说，-3和1是方程ax²+bx-3=0的解，
那么-3+1=-b/a，-3*1=-3/a，可以迅速确定，a=1,b=2
故，抛物线方程为y=x²+2x-3
(2)y=x²+2x-3=(x+1)²-4，因此，顶点D=(-1，-4)
故，|CD|=√2，|BE|=√2，所以|CD|=|BE|=√2
也就是说，要使S△PDC=S△PBE，只需使P点到直线BE的距离等于P到直线CD的距离即可。
设P(m,n)，那么P到直线BE的距离为|m+n-1|/√2
，P到直线CD的距离为|m-n-3|/√2
所以|m+n-1|/√2=|m-n-3|/√2，且m²+2m-3=n
解方程，有三组解，m=2，n=5或者m=-1+√3，n=-1或者m=-1-√3，n=-1
因此，P的坐标为(2,5)，或P的坐标为(-1+√3,-1)，或P点的坐标为(-1-√3,-1)
当P的坐标为(2,5)时，三角形的面积就是S=6/√2*√2/2=3
当P的坐标为(-1+√3,-1)，三角形的面积S=(3-√3)/2
当P点的坐标为(-1-√3,-1)，三角形的面积S=(3+√3)/2