Question

x>0,y>0,且3x+4y=xy,求x+y的最小值,写出基本不等式

x>0,y>0,且3x+4y=xy,求x+y的最小值,写出基本不等式

Answer 1

若x>0、y>0，且3x+4y=xy，
则两边除以xy得
4/x+3/y=1.
∴x+y
=(x+y)·1
=(x+y)(4/x+3/y)
=7+(3x/y+4y/x)
≥7+2√(3x/y·4y/x)
=7+4√3.
∴3x/y=4y/x且4/x+3/y=1，
即x=4+2√3，y=3+2√3时，
x+y最小值为7+4√3。

再举两个更简洁的方法:

①依Cauchy不等式得
1=4/x+3/y
=2²/x+(√3)²/y
≥(2+√3)²/(x+y)，
∴x+y≥(2+√3)²=7+4√3.
故所求最小值为7+4√3.

②
设x+y=t，代入条件式得
3x+4(t-x)=x(t-x)
即x²-(t+1)x+4t=0.
上式判别式不小于0，故
△=(t+1)²-16t≥0，
解得，
t≥7+4√3，或t≤7-4√3(舍).
故所求最小值为7+4√3。