Question

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).
(1)当a=1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对于任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

Answer 1

(1).当a=1/2时，f(x)=x+2+1/2x,因为x∈[1,+∞)，所以当x=1时，f(x)有最小值。即f(1)=1+2+1/2=3又1/2

(2).把函数化为f(x)=[(x+1)^2+a-1]/x
则[(x+1)^2+a-1]/x>0
因为x∈[1,+∞).，所以(x+1)^2恒大于4，
则只要a-1>-4即可。
则a>-3
a的取值范围为（-3，+∞）

Answer 2

（1）f(x)=x+2+1/(2x),当x=1/(2x)时，有最小值，f(x)最小值为2+根号2
（2）f(x)=x+2+a/x,当a>=0时，条件恒成立
当a<0时，f(x)为单调递增函数，所以在x的取值范围内，当x=1时f(x)有最小值
为满足条件，令f(1)>0,可解得a>-3
从而可得，满足体重条件的a的范围为a>-3

Answer 3

a>-3