Question

线性代数，请详细过程

Answer 1

Aa1=λa1
所以A^n a1=λ^n a1
B=A^5-4A^3+E
所以得到Ba1=(λ^5 -4λ^3+1)a1
即a1是B的特征向量
将λ=1，2，-2代入λ^5 -4λ^3+1
得到B的特征值为-2，1，1

不同的特征值对应的特征向量一定是线性无关的
现在a1=(1,-1,1)^T
那么另外两个向量取(1,1,0)^T和(0,1,1)^T即可

再将二者无关化为a2=(1,1,0)^T和a3=(-1,1,2)^T

先求(a1,a2,a3)的逆
1 1 -1 1 0 0
-1 1 1 0 1 0
1 0 2 0 0 1 r2+r1,r3-r1
~
1 1 -1 1 0 0
0 2 0 1 1 0
0 -1 3 -1 0 1 r2/2 ,r1-r2，r3+r2
~
1 0 -1 1/2 -1/2 0
0 1 0 1/2 1/2 0
0 0 3 -1/2 1/2 1 r3/3,r1+r3
~
1 0 0 1/3 -1/3 1/3
0 1 0 1/2 1/2 0
0 0 1 -1/6 1/6 1/3
于是A^(-1)=
1/3 -1/3 1/3
1/2 1/2 0
-1/6 1/6 1/3

故B=(a1,a2,a3)
(-2 0 0
0 1 0
0 0 1) (a1,a2,a3)^(-1)=
1 1 -1 × -2 0 0 × 1/3 -1/3 1/3
-1 1 1 0 1 0 1/2 1/2 0
1 0 2 0 0 1 -1/6 1/6 1/3
=
-2 1 -1 × 1/3 -1/3 1/3
2 1 1 1/2 1/2 0
-2 0 2 -1/6 1/6 1/3
=
0 1 -1
1 0 1
-1 1 0