Question

怎么用定义证明凸函数乘凸函数等于凸函数（函数值都大于零）

Answer 1

凸函数即二价导数存在且大于0，
设有凸函数f(x)>0, g(x)>0,
设F(x)=f(x)×g(x),
则有F'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x),
F"(x)=f(x)g"(x)+f'(x)g'(x)+f"(x)g(x) f'(x)g'(x)=2f'(x)g'(x)+f(x)g"(x)+ f"(x)g(x)
由于f'(x)与g'(x)在凸函数当中并未限定，所以无法判断正负号。
结论是无法断定，原命题是假的。

追答

仔细看了书，是若f(x)，g(x)分别为凸函数，则f(g(x))也为凸函数。
没有这里要推导的命题。
反例：f(x)=x²,g(x)=(x-2)²,
F(x)=x²(x-2)²
=x⁴-4x³+4x²,
F'(x)=4x³-12x²+8x,
F"(x)=12x²-24x+8
=12(x-1)²-4,
显然存在二次导数小于零的情况。

追问

，，，，好像我说的不清楚，题目是这样的
设 f(x),g(x), 是区间 I 上的严格增的凸函数，并且 f (x)大于0且 g(x)大于0，则
f·g(x)即 f(x)g(x) 是严格增的凸函数．

而不是复合函数，并且可以用凸函数的定义证明吗（不求导）

非常感谢

追答

已证，假命题。

当均为增函数时，f'(x),g'(x)均大于0,于是F"(x)各项均大于0，即为凸函数，且为增函数。

用定义式相乘也可推导出来。

不等式在两边同时乘以正数不变号，然后用增函数定义代入即得。

你那个开始的命题没有提增函数，所以是错误的。