同解方程组是等价向量组吗？为什么，求证明 20
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矩阵A,B的行向量组等价的充分必要条件是齐次方程组Ax=0与Bx=0同解
必要性证明:
设矩阵A的行向量组为[a1...an],矩阵B的行向量组为[b1...bn]
Ax=0与Bx=0,设解为[X],有Ax=0,即a1x=0...anx=0可推得a1x+...anx=0；Bx=0,有bn=0,所以a1x+...anx=0=bn,所以矩阵B的行向量组中任意一向量可由矩阵A的行向量组线性表示,同理可得矩阵A的行向量组中任意一向量可由矩阵B的行向量组线性表示.故矩阵A,B的行向量组等价.
必要性证明:
设矩阵A的行向量组为[a1...an],矩阵B的行向量组为[b1...bn]
Ax=0与Bx=0,设解为[X],有Ax=0,即a1x=0...anx=0可推得a1x+...anx=0；Bx=0,有bn=0,所以a1x+...anx=0=bn,所以矩阵B的行向量组中任意一向量可由矩阵A的行向量组线性表示,同理可得矩阵A的行向量组中任意一向量可由矩阵B的行向量组线性表示.故矩阵A,B的行向量组等价.
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