Question

求函数大神解答

求函数大神解答19题

Answer 1

19.(Ⅰ).f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax;
f '(x)=6x²-6(a+1)x+6a
已知x=3是极值点，因此f '(3)=54-18(a+1)+6a=-12a+36=0，故a=3.
于是f(x)=2x³-12x²+18x
此时f '(x)=6x²-24x+18；故f '(0)=18；f(0)=0；
∴过(0，f(0))的切线方程为：y=18x.
(Ⅱ).a>1/2，f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax在[0，2a]上的最小值为-a²，求a的值。
令f '(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6[x²-(a+1)x+a]=6(x-a)(x-1)=0
得驻点x₁=a；x₂=1。已知a>1/2.
当1/2<a<1时, x₂是极小点，此时极小值f(x)=f(1)=2-3(a+1)+6a=-a²
即有a²+3a-1=0，解得a=(-3+√13)/2=(-3+3.6)/2=0.6/2=0.3<1/2；
故无此情况。
当a=1时,由f '(x)=6(x-1)²=0得唯一驻点x=1；此时x经过1时f '(x)不变号，
因此x=1不是极值点；
当a>1时, x₁=a是极小点，此时极小值f(x)=f(a)=2a³-3(a+1)a²+6a²=-a²;
即有 -a³+4a²=a²(-a+4)=0，故得a=4.(a=0舍去);
检查：当a=4时：
f(x)=2x³-15x²+24x；由f '(x)=6x²-30x+24=6(x²-5x+4)=6(x-1)(x-4)=0
有驻点x₁=1；x₂=4；x₁是极大点，x₂是极小点；
极小值f(x)=f(4)=128-240+96=-16=-4².
结果正确。