Question

f(x)=根号下mx^2+(m-3)x+1的值域是[0,+无穷)则实数m的取值范围是 答案是[0,1]U[9

f(x)=根号下mx^2+(m-3)x+1的值域是[0,+无穷)则实数m的取值范围是
答案是[0,1]U[9,+无穷） 我想知道为什么求解的时候Δ是大于等于0而不是小于等于0

Answer 1

∵ f(x)=根号下【mx²+(m-3)x+1】值域是[0,+无穷)，
∴ g(x) = mx²+(m-3)x+1 必须能够取到所有非负数值

首先，当m=0时，g(x) = -3x+1图像是一条倾斜的直线，能够取到所有非负数
∴m=0符合条件；

第二，当m＜0时，g(x) = mx²+(m-3)x+1图像开口向下，有极大值存在
∴m＜0时，g(x) = mx²+(m-3)x+1 不能够取到所有非负数

第三，当m＞0时，g(x) = mx²+(m-3)x+1图像开口向上，存在极小值
如果要取到所有非负数，则必须极小值小于或等于0，
即图像必须与x轴至少有一个交点
∴判别式=(m-3)²-4m≥0
m²-10m+9≥0
(m-1)(m-9)≥0
m≤1或m≥9

综上：
m∈【0,1】，【1,9】