Question

已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是r 若扇形的周长是一定值c，当α为多少

Answer 1

解：你没有将题目表达完整，可能是问：当α为多大时，扇形的面积最大？ 设 扇形的弧长为L ，则周长 c=L+2r, 得 L=c-2r.
扇形的面积 S=1/2 x Lr=1/2 x (c-2r)r=cr/2-r² 为了求得最大面积，我们将上式 稍做改变，然后人为的加上c²/16,再减去c²/16, 得
上式cr/2-r² = -(r²-cr/2)=-(r²-cr/2+c²/16-c²/16)=c²/16-(r-c/4)²， 即S=c²/16-(r-c/4)² 从上式可以知道：只有当(r-c/4)²=0 时，面积才能最大,S最大=c²/16. 此时(r-c/4)²=0, 所以r-c/4=0, 故得c=4r，所以，S最大=（4r)²/16=16r²/16=r².
又 在弧度制中，弧长L=αr, 扇形周长c=L+2r, 所以L=c-2r, 如上述，S最大时，c=4r,
所以 L=4r-2r, 由L=α r,得α=L/r=2r/r=2(弧度）。
由弧度与角度换算公式知，1弧度=57.296度，所以 2弧度≈114.65度。
答： 当α为2弧度(约114.65度）时，扇形的面积最大，等于r²。