Question

第十题怎么解

Answer 1

(1)设p(x,y)(x＞0) 则y=lnx且y=ax²-x ∴lnx=ax²-x
又在P处切线相同 所以斜率相同 得 1/x=2ax-1 得出a=(x+1)/2x² 带入上式得 lnx=(1-x)/2
下面证该方程只有一个实数根则P点唯一
设h(x)=lnx+x/2-1/2 ∴h(x)导数=1/x+1/2＞0 ∴h(x)在定义域上单调递增 h(1)=0 ∴h(x)有唯一零点 即原方程有唯一正实根，∴P点唯一，得证。
(2)当切点相同时，由(1)知a=1;
当切点不同时，设切线方程为y=kx+m
直线与f(x)相切，得k=1/x,从而切点横坐标x=1/k,代入f(x)得切点纵坐标y=ln(1/k),再代入直线有m=ln(1/k)-1=-lnk-1
同理，直线与g(x)相切可得x=(k+1)/2a,从而，(-k²-2k-1)/4a=-lnk-1,
∴ 4a=(k²+2k+1)/(1+lnk)(k＞0)
设F(k)=(k²+2k+1)/(1+lnk)(k＞0),则F(k)导数=(k+1)(1+2lnk-1/k)/(1+lnk)²
又设G(k)=1+2lnk-1/k, 则G(k)导数=2/k+1/k²＞0 ∴G(k)在(0，正无穷)单调递增
又G(1)=0,∴G(k)在(0,1)上＜0，在(1，正无穷)＞0 从而
F(k)在(0,1)单调递减，在(1，正无穷)单调递增，∴F(k)有最小值F(1)=4,即4a的最小值为4，∴a有最小值为1
综上 正实数a的最小值为1