Question

如果双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴，过双曲线右焦点且斜率为√(3/5)的直线交双曲线与P，Q两点，

如果双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴，过双曲线右焦点且斜率为√(3/5)的直线交双曲线与P，Q两点，若OP⊥OQ，PQ=4，求双曲线方程
要详细过程，谢谢！

Answer 1

解析:

本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．
解法一：设双曲线的方程为=1．
依题意知，点P，Q的坐标满足方程组

①
②

将②式代入①式，整理得(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③ ——3分
设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－3a2=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0．
根据根与系数的关系，有
④
⑤ ——6分
由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．
由OP⊥OQ得·=－1，
整理得3c(x1+x2)－8x1x2－3c2=0． ⑥
将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得3a4+8a2b2－3b4=0，即(a2+3b2)(3a2－b2)=0．
因为 a2+3b2≠0，解得b2=3a2，所以 c==2a． ——8分
由|PQ|=4，得(x2－x1)2=[(x2－c)－(x1－c)]2=42．
整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0． ⑦
将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1． ——10分
将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3．
故所求双曲线方程为x2－=1． ——12分
解法二：④式以上同解法一． ——4分
解方程③得x1=，x2= ④ ——6分
由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．
由OP⊥OQ，得x1 x2＋(x1－c)·(x2－c)=0． ⑤
将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0，
即 (a2+3b2)(3a2－b2)=0．因a2+3b2≠0，解得b2=3a2． ——8分
由|PQ|=4，得(x2－x1)2+[(x2－c)－(x1－c)]2=42．
即 (x2－x1)2=10． ⑥
将④式代入⑥式并整理得(5b2－3a2)2－16a2b4=0． ——10分
将b2=3a2代入上式，得a2=1，将a2=1代入b2=3a2得b2=3．
故所求双曲线方程为x2－=1

Answer 2

y=kx+b