Question

分段函数分段点求导一定要用定义法吗

Answer 1

分段函数分段点求导不是一定要用定义法。

只要一个区间上的函数可以光滑延拓到区间外，那么区间端点上的单侧导数可以不用定义来算。比如说x＝a时y＝g（x）＝2x＋1对于这种情况。

根据函数表达式先尝试把f和g在a的附近延拓一下，可以发现x＝a是f（x）的间断点，这里的左导数要另外算；但是x＝a不是g（x）的间断点。

完全可以直接按表达式来求右导数可导必连续，连续不一定可导．万一分段处不连续怎么办？就算连续了，导数也不一定存在啊，所以用定义，求左导数和又导数，综合起来看是否可导。

绝对值函数是不是初等函数是个有争议的问题，除了绝对值函数外你说的那些都是初等函数，在高等数学里能接触到的不是初等函数的函数。

如分段函数，变上限积分函数，无穷多个函数的和（即无穷级数）等。可导一定连续，反过来不连续就一定不可导。

例如f(x)=x+1（x≥0）， =x （x<0) 这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导。

这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。

扩展资料

按定义求左导数：

f'-(0)=lim[f(x)-f(0)]/(x-0)，注意这里f(x)的x是小于0的，而f(0)=1。

因此极限等于lim(x-1)/x=1-1/x，x趋于0-时这个极限是无穷大，因此左导数不存在。我说“导函数在x=0点的左右极限都存在且都等于1”是为了说明。

在间断点处用导数公式求出来的导数是“不靠谱”的，必须验证在该点连续后，导数极限定理（如果导函数在某点的右极限存在。

则该点处的导数也存在，且就等于导函数在该点的右极限）才能起作用，因为导数极限定理的前提是函数在该点的某邻域内连续。

Answer 2

当然不是，只要一个区间上的函数可以光滑延拓到区间外，那么区间端点上的单侧导数可以不用定义来算。
比如说x<a时y=f(x)=1/(x-a), x>=a时y=g(x)=2x+1
对于这种情况，根据函数表达式先尝试把f和g在a的附近延拓一下，可以发现x=a是f(x)的间断点，这里的左导数要另外算；但是x=a不是g(x)的间断点，完全可以直接按表达式来求右导数