Question

线代题目

设向量组α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(-3,-1,-4,a)，α4=（4，-2，5，b）,当a,b为何值时，α4可由α1，α2，α3线性表示且表示法唯一

Answer 1

你的题目叙述错了吧。应该是A=（aij）而不是A^2=（aij）（1）由rank(A)=1，知道A=[k1*ak2*ak3*akn*a]=a*[k1k2kn]其中k1k2kn均属于域F。F是矩阵A基于的域，其中的元素我们称之为“数”。a是非零列向量，而k1k2kn不全为0。因此A^2=a*[k1k2kn]*a*[k1k2,,,kn]=a*（[k1k2kn]*a）*[k1k2,,,kn]（1）其中[k1k2kn]*a是一个数，它等于：[k1k2kn]*a=tr(a*[k1k2kn])（这里，矩阵交换不改变迹）=tr(A)=a11++ann=lambda从而从（1）式可以看出：A^2=lambda*A（2）det（I+A）=det（I+a*[k1k2kn]）=det（1+[k1k2kn]*a）=1+lambda这里用到了公式：det(I+AB)=det(I+BA)（3）当I+A可逆时，注意到：A^2=lambda*A，这意味着（从这个式子里凑出一个A+I）（A+I）（A-(lambda+1)*I）=A^2-lambda*A-(lambda+1)*I=-(lambda+1)*I因此(I+A)^(-1)=（(lambda+1)*I-A）/(lambda+1)=I-A/(lambda+1)。