Question

高数问题？

高数问题？例3和例4 谢谢！

Answer 1

这2题其实考察的是对极限问题的基础理解。有些句子难就难在背后的潜台词如果没没理解的话，感觉就像“小明今年5岁，请证明明年他6岁”那样，这也要证？！好，玩笑开完，进入正题。
例3的理解：
要想证明 lim （2x-1）=1，当x→1, 相当于要证明 lim [ （2x-1）-1] =0, x→1。
这时候，由于取的是极限，也就是还没真的把x取到1，所以 [ （2x-1）-1] 将会小于一个任意小的数。但有可能是非常小的负数，也可能是非常小的正数，总之可以将上式等价变成|（2x-1）-1|<ε，这里有句潜台词没写出来，就是ε为任意正数，且ε可以非常非常小。此时，|（2x-1）-1|<ε可以变型得到 |x-1|<ε/2。因为潜台词说了，ε为任意正数，且ε可以非常非常小，所以ε/2就是一个非常小，但又大于0的数，所以就会有另一个潜台词出现，就是0< |x-1|<δ，不用想，δ也是任意正数，且δ可以非常非常小。
所以，当x满足了0< |x-1|<δ这个条件时，也就是x→1时， 回到最初的源头，lim （2x-1）=1，就成立了。
例4的理解，和例3差不多一个道理。
要想证明 lim （x^2-1）/(x-1）=2，当x→1时，需要做下变形，转换成 （x+1)（x-1）/（x-1）=x+1，也就是lim （x^2-1）/(x-1）=2 转换成 证明lim （x+1）=2，当x→1时。这样就简单了很多。我们就如法炮制例3的套路。
要想证明lim （x+1）=2，当x→1时，就相当于要证明 lim（（x+1）-2）=0，x→1时。 这时候，由于取的是极限，也就是还没真的把x取到1，所以 [ （x+1）-2] 将会小于一个任意小的数。但有可能是非常小的负数，也可能是非常小的正数，总之可以将上式等价变成|x-1|<ε，这里有句潜台词没写出来，就是ε为任意正数，且ε可以非常非常小。所以就会有另一个潜台词出现，就是0< |x-1|<δ，不用想，δ也是任意正数，且δ可以非常非常小。
所以，当x满足了0< |x-1|<δ这个条件时，也就是x→1时， 回到最初的源头,‍lim （x^2-1）/(x-1）=2，就成立了。