Question

比较下列二重积分积分的大小

比较下列二重积分积分的大小为什么能够取到等号

Answer 1

第一题。因为所给的条件皆为有界闭区域，且能取出min和max值，所以根据，二重积分性质3和4即可得出答案。第二题。画出圆周，由于x+y≥1，根据二重积分性质3和4直接比较即可得出。同理第三、四题也是一样。至于为什么能取等号，是因为定义和积分的线性性质决定的。以二重积分为例，二重积分性质2中说过：函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。这是可推导证明的。

追问

二重积分不就是一个体积吗，为什么还有最大最小。而且条件是确定的

追答

对，二重积分是一个体积，但首先你得弄清楚这里min和max的含义，它指的是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，而不是对二重积分而言，而条件一般是由一个或多个函数制约来形成的区域D。如第一题的“其中...”后面的话就条件，通过这个条件我们就可以得出区域D的范围。或者这么来说吧，影响二重积分的是这个区域D，而影响这个D的是x和y。我这么说你应该懂了吧。