Question

线性代数：证明向量组线性无关

Answer 1

依题意向量组x1,x2,x3,...,xn组成的矩阵P使得
P^TAP是对角形，设为B=diag(b1,b2,b3,...,bn)
又因为A是正定的，对于任意非0向量x都有x^TAx>0
当然这个向量组也不例外，xi^TAxi>0
即有bi>0，Ax=bixi，bi就是A的特征值，xi是特征向量
于是向量组x1,x2,x3,...,xn就是A的n个不同的特征向量
因为A正定满秩，所以向量组线性无关。

Answer 2

假设有数k1,k2,...,km使得k1x1+k2x2+...+kmxm=0，左乘x1A^T可得k1x1(A^T)x1=0，因为A正定，则x1(A^T)x1>0，所以k1=0。同理可证k2=0,...,km=0，即x1,x2,...xm线性无关。