Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．
（1）证明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．
这是14年的全国卷1高考文科数学

Answer 1

（1）证明：

连接BC1，则点O为BC1与B1C的交点，

∵侧面BB1C1C为菱形，

∴BC1⊥B1C，

∵AO⊥平面BB1C1C，

∴AO⊥BC1，

∵AO⊂平面ABO，BC1⊂平面ABO，AO∩BC1=O，

∴B1C⊥平面ABO，

∵AB⊂平面ABO，

∴B1C⊥AB

（2）解：

过点O作OD⊥BC于D，连接AD，过点O作OH⊥AD于H，

∵OD⊥BC，AO⊥BC，OD∩AO=O，

∴BC⊥平面AOD，

∵OH⊂平面AOD，

∴BC⊥OH，

∵OH⊥AD，AD∩BC=D，

∴OH⊥平面ABC，

∵∠CBB1=60°，

∴△CBB1为等边三角形，

∴B1C=BC=1，OC=1/2，OD=OCsin60°=√3/4，

∵AC⊥AB1，O是B1C的中点，

∴AO=1/2B1C=1/2，

AD=√（OD²+OA²）=√7/4，

∵AD×OH=OD×OA，

∴OH=OD×OA/AD=√21/14，

∵O是B1C的中点，

∴点B1到平面ABC的距离=2OH=√21/7，

∴三棱柱ABC-A1B1C1的高为√21/7.