Question

a,b>0,a+2b=1,求a^2+b^2+（9/125ab）的最小值

Answer 1

证明:方法:以a为主元,构造二次函数,用判别式法. 要证明f(a)=a^2+(b-1)a+b^2-b+1>0,只需证明它的判别式<0就可以了. 其判别式△=(b-1)^2-4(b^2-b+1)=b^2-2b+1-4b^2+4b-4 =-3b^2+2b-3=-3(b^2-2b/3)-3=-3[(b-1/3)^2-1/9]-3 =-3(b-1/3)^2-8/3<0对任何b都成立. f(a)的图象是以 b为参变量并开口朝上的抛物线,对任何参变量 b,其判别式都<0,因此其图象不论b为何值都与X轴无交点,也就是其图象始终在X轴的上方,因此对任何a,b,都有f(a)=a^2+(b-1)a+b^2-b+1>0,即 不等式a^2+b^2+ab+1>a+b得证. 补充： 方法二： ∵a,b∈R ∴有(a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2>=0 展开，得 a^2-2a+1+b^2-2b+1+a^2-2ab+b^2>=0 合并同类项 ，有 2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2>=0 两边同时除以2，有 a^2+b^2-ab-a-b+1>=0 ∴a^2+b^2>=ab+a+b-1 即a^2+b^2+ab+1>a+b. 命题得证