Question

一道高三数学函数与方程的题目

一道高三数学函数与方程的题目想问一下除了 a≥3e³ 以外，可不可以有 0＜a≤2e² ？？？ 求教。

Answer 1

f(1)=e+c,
y=f(x)与y=g(x)是“平行曲线”，
∴|f(x)-g(x)|=|f(1)-g(1)|=|c|,
∴f(x)-g(x)=土c,
∴g(x)=f(x)干c=e^x-alnx或e^x-alnx+2c.
若g(x)在(2,3）上有两个零点，则g'(x)在(2,3)上有零点；若g'(x)在(2,3)上没有零点，则g(x)在(2,3)单调，在(2,3)至多有一个零点。
∴g(x)在(2,3)上零点唯一，
<==>g(2)*g(3)<0,①且g'(x)=e^x-a/x在(2,3)无零点。②
1）g(x)=e^x-alnx,g(2)*g(3)=(e^2-aln2)(e^3-aln3)<0,
解得10.66≈e^2/ln2<a<e^3/ln3≈18.28.
考虑②的反面：由g'(x)=0得a=xe^x,x∈(2,3)的值域是(2e^2,3e^3)，2e^2≈14.78，
∴e^2/ln2<a<=2e^2.
2)g(x)=e^x-alnx+2c,g(2)*g(3)=(e^2-aln2+2c)(e^3-aln3+2c)<0,
无法比较(e^2+2c)/ln2与(e^2+2c)/ln3的大小。
本题有缺憾。