Question

反函数定义域

反函数定义域请写明过程，第一张图是需要求定义域的题。第二章是我求得方法(我的答案是错的)。

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Answer 1

找到一个单调区间，此区间即是烦函数的定义域。

把函数看作方程： y=f(x)

解方程，求出x用y标识的表达式，x=f^(-1)(y)

将x,y互换即得反函数表达式： y=f^(-1)(x)

例如：求 y=3x+5的反函数，函数在（-∞， +∞）内单调，值域为：（-∞， +∞）

∴ 所以反函数的定义域为：（-∞， +∞），值域为：（-∞， +∞）

由 y=3x+5 解得：x=1/3*y-5/3

∴ 反函数为： y=1/3*x-5/3 x∈（-∞， +∞）

例如 y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

Answer 2

反函数定义域？实际上，求函数定义域与求它的反函数定义域，从方法上讲是一样的。因为反函数也是“函数“。如果已知，或者可以求得原函数值域，那么反函数的定义域就是原函数的值域。因为两个互为反函数的函数定义域与值域互换。否则，直接求反函数定义域。解：
因为：-1≤sint≤1
所以：-1≤(x-1)/2≤1
有：-2≤x-1≤2
因此：-1≤x≤3
所求定义域为x∈[-1，3]。反函数定义域和原函数值域相同
反函数值域和原函数定义域相同
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

Answer 3

解：
因为：-1≤sint≤1
所以：-1≤(x-1)/2≤1
有：-2≤x-1≤2
因此：-1≤x≤3
所求定义域为x∈[-1，3]。

追问

你告诉我它的反函数是多少

sim[(x-1)/2]的反函数是什么

追答

已知：y=sin[(x-1)/2]
则：(x-1)/2=arcsiny
整理：x=1+2arcsiny
因此：所求反函数是y=1+2arcsinx

Answer 4

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。

设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为
由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f的值域和定义域，并且f的反函数就是f，也就是说，函数f和f互为反函数，即：
反函数与原函数的复合函数等于x，即：
习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成
。
例如，函数
的反函数是
。
相对于反函数y=f(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f(b)，即点(b,a)在反函数y=f(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f关于y=x对称。
于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。
在微积分里，f(x)是用来指f的n次微分的。
若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。

Answer 5

反函数定义域就是原函数值域

追问

不是应该是-1≦x≦1吗？不是x与y交换位置吗？那应该是下附图

不是仅仅x和y互换位置吗？第二个可不是仅仅x跟y互换，而是(x-1)/2跟y互换