Question

高数微分方程

高数微分方程满足初值问题。怎么做啊

Answer 1

y''+y=4cos2x,y(0)=-1,y'(0)=0,
特征方程
r²+1=0，r1=-i，r2=i，
齐次方程的通解：
y=C1e^(-ix)+C2e^(ix)
=C1(cosx-isinx)+C2(cosx+isinx)
=(C1+C2)cosx+(-C1i+C2i)sinx
=D1cosx+D2sinx
求特解，用变常数法：
y'=D1'cosx-D1sinx+D2'sinx+D2cosx
y''=D1''cosx-2D1'sinx-D1cosx+D2''sinx+2D2'cosx-D2sinx
y''+y=D1''cosx-2D1'sinx-D1cosx+D2''sinx+2D2'cosx-D2sinx+D1cosx+D2sinx
=D1''cosx-2D1'sinx+D2''sinx+2D2'cosx=4cos2x
(D1''+2D2')cosx+(D2''-2D1')sinx=4cos²x-4sin²x
D1''+2D2'=4cosx，(D2''-2D1')=-4sinx
D1=acosx，D2=bsinx，
D1'=-asinx,D1''=-acosx;
D2'=bcosx,D2''=-bsinx
D1''+2D2'=-acosx+2bcosx=(-a+2b)cosx
-a+2b=4
D2''-2D1'=-bsinx-2(-asinx)=(-b+2a)sinx
-b+2a=-4
相加：a+b=0,3b=4，b=4/3，a=-4/3
D1=（-4/3）cosx，D2=（4/3）sinx
特解：y=（-4/3）cos²x+（4/3）sin²x
=（-4/3）（cos²x-sin²x）=（-4/3）cos2x
原方程通解=齐次通解+特解：
y=D1cosx+D2sinx+（-4/3）cos2x