Question

数学导数题(高二)

数学导数题(高二)做一下第二问，实质就是草稿本上那个，半天做不出来

Answer 1

你的转换时有问题的。应该是证明x1x2<1/a²
x1,x2是方程ax-lnx=0的两个解，
注意 g(x)=ax-lnx在x=1/a处取到最小值。
所以x1,x2一个大于1/a，一个小于1/a,
不妨设x1<1/a ，x2>1/a
注意1/(a²x1)>1/a ，而g(x) 在x>1/a 时时单调增加的。
所以仅需证明 g(x2)=g(x1)<g(1/(a²x1)) 即可。

令h(t)=g(t)-g(1/(a²t))=at-lnt-1/(at)-ln(a²t)
h'(t)=a-1/t+1/(a²t)-1/t=(at-1)²/(a²t)>0
而h(1/a)=0 所以 t<1/a 时 h(t)<0 即 g(t)<g(1/(a²t))
取t=x1有g(x1)<g(1/(a²x1)) .得证。

追问

大神！谢谢你

Answer 2

若x₁，x₂是方程ax+f(x)=x²-x(a>0)的两个根，求证：lnx₁+lnx₂+2lna<0；
证明：∵x₁，x₂是方程 f(x)=x²-(a+1)x的两根;
∴x₁+x₂=a+1； x₁x₂=0；
∴lnx₁+lnx₂+2lna=ln(a²x₁x₂)=-∞<0