Question

将19枚棋子放入5×5的方格网内，每个方格最多要放一枚棋子，每行每列的棋子为多少？

Answer 1

分析与解答：
这题目一看之下觉得很复杂，其实我们想想，5×5的方格网有25个格子，现在有19枚棋子，无论怎样放总有6个格子是空白的，所以我们可以去考虑这6个空格的情况。
我们把6个空格（为了叙述方便空格就用小旗代替）放在5×5的方格网里，每个方格至多放一个小旗，且每行每列小旗的个数均为偶数个。那么就有这样的可能：①有3行，某3行和某3列每行每列放2个小旗；②有2行，其中一行放4面小旗，一行放2面小旗（但是这种情况不论怎样放都不能得到题目里的每行每列的棋子个数均为奇数个要求，所以应该舍去）。
6面小旗，放在5×5的方格网内，每个方格至多只放一面小旗，且某3行和某3列每行每列放2个小旗。那么这3行3列怎么选呢？这6面小旗怎样放呢？
选3行，就是5行里取3行，有（5×4×3）÷（3×2×1）=10种可能；选列就是在5格里选3格，有（5×4×3）÷（3×2×1）=10种可能，这样选出3行3列就有10×10=100种可能。下面就是放小旗的事了，由于是每行每列都是2面小旗，所以实际就是一个3×3的小方格网里放6面小旗，每个方格至多放一个小旗，且每行每列小旗的个数均为2个的问题了，这问题就很简单了，第一行里放2个有3种选择，第二行里放2个就得考虑要和第一行的交错放，否则就不能保证行每列小旗的个数均为2个了，所以只有2种放法，而第三行就只有唯一的放法了，所以放小旗有3×2×1=6种方法。
所以将19枚棋子放入5×5的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有100×6=600种放法。