已知a.b都是正数,且a²b+ab²+ab+a+b=3,求2ab+a+b的最小值
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设x=ab+1,y=a+b+1
则x>1,y>1
a²b+ab²+ab+a+b=3
(ab+1)(a+b+1)=4
即 xy=4 (1)
2ab+a+b=2(ab+1)+(a+b+1)-3
=2x+y-3
≥-3+2√(2x·y)
=-3+4√2
当2x=y 即ab=-1+√2,且a+b=-1+2√2时取"="
所以 2ab+a+b的最小值是-3+4√2
则x>1,y>1
a²b+ab²+ab+a+b=3
(ab+1)(a+b+1)=4
即 xy=4 (1)
2ab+a+b=2(ab+1)+(a+b+1)-3
=2x+y-3
≥-3+2√(2x·y)
=-3+4√2
当2x=y 即ab=-1+√2,且a+b=-1+2√2时取"="
所以 2ab+a+b的最小值是-3+4√2
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