Question

极限与无穷小的关系是什么？

Answer 1

根据极限的性质，如果f（x）和g（x）都有极限。那么lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）
lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。根据这个性质，很容易就证明这个命题。

1、必要性：如果lim（x→x0）f（x）=A，令a（x）=f（x）-A，则lim（x→x0）a（x）=lim（x→x0）（f（x）-A）=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）A=A-A=0，所以a（x）是x→x0的无穷小。而f（x）=A+a（x）

2、充分性也是一样证明。如果f（x）=A+a（x），a（x）是x→x0的无穷小，则lim（x→x0）a（x）=0
所以lim（x→x0）f（x）=lim（x→x0）（A+a（x）=lim（x→x0）A+lim（x→x0）a（x）=A+0=A

“极限和无穷小的关系”定理：

无穷小是接近于0，但是不等于0， 如果limf(x)=A，那么f(x)=A+a，其中当N趋于无穷大的时候1/N就趋近于0，也就说无限接近，这个就是函数的极限。

Answer 2

无穷小是接近于0，但是不等于0， 如果limf(x)=A，那么f(x)=A+a，其中lima=0 只有lima=0时，f(x)=A+a 才成立  反之如果f(x)=A+a,且lima=0，那么limf(x)=A  既然lima=0了，所以limf(x)=A  不是等于常数A+a，是无限趋近，就像。当N趋于无穷大的时候1/N就趋近于0，也就说无限接近，这个就是函数的极限问题！