Question

如何计算当t趋于无穷时，ln(t+1)/t的值？不能用洛必达法则与泰勒展开式，可以用e的定义

如何计算当t趋于无穷时，ln(t+1)/t的值？不能用洛必达法则与泰勒展开式，可以用e的定义从初学者角度回答

Answer 1

如图所示

只有t趋向0时才符合e的定义

追问

如何证明lnt远远小于t(刚学极限，可用极限定义，夹逼定理等，但不要用导数)

追答

其实这个用洛必达法则就行了，不过这需要用到导数的知识
或者设函数F(x) = lnx - x
发现0<x时，F(x)总是<0的

追问

其实导数，洛必达什么的我都会，可是通过你这个式子，也只能说明比值小于1，无法说明比值趋于0啊

追答

lnt的增长比t慢许多，当t不断增加时，lnt和t的差距就越来越大，所以它们趋向无穷大的速度是不一样的

追问

这个其实我都知道，但是现在无法用当初的方法证明，我忘了当时老师是怎么讲的了，因为当时只讲了极限，没有讲导数

追答

不过如果改为t趋向0，真的简单许多

你要证明这个函数的单调性，通常都是先学过导数的，所以再看看吧

追问

这个我就知道，但是t趋于无穷就不知道了

追答

t趋向无穷的话，就按照我这个方法推导，的确不是e的形式

追问

怎么推啊，推不出来，要陪凑，可是之后就又出现了新函数，还是不行

你看看能不能用夹逼定理？

追答

夹挤不适用于这里，其实看图像都能分辨出来，这趋势很明显的

追问

不是，我知道两个图像具体情况，其实图像什么的我都知道，我只是问具体的用一些几本方法的证明

追答

麻烦先采纳我得回答吧，再慢慢给你解释

几何方法的话，我只知道导数而已

追问

好吧，你再想想

Answer 2

解：分享一种解法。由基本极限公式，有lim(t→∞)(1+t)^(1/t)=e。
两边取自然对数，∴lim(t→∞)[ln(1+t)]/t=1。
供参考。

追问

我问的是t趋于无穷不是0

你定义都记错了，e的定义是t趋于0

追答

不好意思，看错条件了。书中关于e的定义，有两种表示方式，仅表达式有差异而已。

追问

洛必达法则知道吧，你用洛必达法则算，算我的那个式子，最后结果不是1

追答

是的。结果不是1而是0。

追问

那这题就与你说的方法不同，该怎么写？