Question

高等数学 判断反常积分的收敛性

高等数学 判断反常积分的收敛性第（8）小问

Answer 1

∫（1,2）[x²-3x+2]^(-1/3)dx
1≤x≤2，
x²-3x+2=(x-1)(x-2)≤0，
x²-3x+2=(x-3/2)²-1/4
设u=x-3/2，u=-1/2~1/2；
原积分=
∫（-1/2,1/2）[u²-1/4]^(-1/3)du
=-∫（-1/2,1/2）[1/4-u²]^(-1/3)du，被积函数是偶函数，
=-2∫（0,1/2）[1/4-u²]^(-1/3)du
设u=（1/2）sint，du=（1/2）costdt；
t=-π/2~π/2
原积分=
-2∫（0,π/2）[1/4cos²t]^(-1/3)（1/2）costdt
=-³√4∫（0,π/2）³√costdt
这个积分已经不是反常积分了，有解。收敛。