为什么1/n发散，而1/n²是收敛的？
2个回答
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0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n所以收敛
至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1 当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时时，ln(1+x)-x =0，所以当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n
所以1/n > ln(n+1)-ln(n)
所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛
至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1 当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时时，ln(1+x)-x =0，所以当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n
所以1/n > ln(n+1)-ln(n)
所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛
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