Question

如何判断正项级数收敛

Answer 1

判断方法：拿到一个数项级数，先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则 n→+∞ 时，级数的一般项收敛于零，该必要条件一般用于验证级数发散，即一般项不收敛于零。

正项级数，是一种数学用语。在级数理论中，正项级数是非常重要的一种，对一般级数的研究有时可以通过对正项级数的研究来获得结果，就像非负函数广义积分和一般广义积分的关系一样。所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。

正项级数收敛性的判别方法主要包括：利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。

级数收敛：

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收敛。

因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数，称之为交错级数。

Answer 2

根据正项级数的一般式情况选用 比较审敛法、比值审敛法、根植审敛法等。 先根据莱布尼茨审敛法判别交错级数的敛散性，若交错级数收敛， 再判断对应的正项级数的敛散性， 正项级数发散，则交错级数条件收敛； 正项级数收敛，则交错级数绝对收敛。

Answer 3

根据基本不等式，有：√(a_n)/n<=(a_n)/2+1/[2*(n^2)]。
而题设正项级数∑an收敛；且级数∑1/[2*(n^2)]亦收敛。
从而正项级数∑√an/n也收敛。#