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这道定积分应用题我还是不会算，式子会列，就是不会算呀……

这道定积分应用题我还是不会算，式子会列，就是不会算呀……谁来教教我

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Answer 1

两曲线交点：(-2,2)、(2,2)
x^2+y^2=8
y=√(8-x^2)
∵两曲线均关于y轴对称
∴一部分面积：S1=2∫(0,2)[√(8-x^2)-1/2x^2]dx
=2∫(0,2)√(8-x^2)dx-∫(0,2)x^2dx
=-1/3x^3|(0,2)
注：2∫(0,2)√(8-x^2)dx
令x=2√2sint
t=arcsinx/(2√2)
t1=arcsin0/(2√2)=0
t2=arcsin2/(2√2)=π/4
dx=2√2costdt
2∫(0,2)√(8-x^2)dx
=2∫(0,π/4)2√2cost(2√2cost)dt
=8∫(0,π/4)(1+cos2t)dt
=8t|(0,π/4)+4∫(0,π/4)cos2td(2t)
=8(π/4-0)+4sin2t|(0,π/4)
=2π-4(sin2π/4-sin0)
=2π-4
圆面积：S=2π×8=16π
另一部分面积：S2=S-S1
=16π-(2π-4)
=14π+4