Question

高等代数，如何证明n维欧式空间中任一正交向量组都能扩充成一组正交基？

Answer 1

首先，任一正交向量组，如果其中向量个数已经是n个，则已经是一组正交基，无需再证。
因此只需考虑向量个数不足n个，例如是k个的情况。此时，可以将原向量组，增加n-k个线性无关的向量，且都满足无法被原向量组线性表示，扩充为一组n个线性无关的向量组，然后用施密特正交化方法，即可得到一个正交基。