Question

证明：对任意的正整数n，都有1/n+1<ln(1+1/n)<1/n成立

Answer 1

由拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(x,x+1)使得，f'(ξ)=[f(x+1)-f(x)]/(x+1-x)=f(x+1)-f(x)=ln'(ξ+1)=1/(ξ+1)，由于函数1/x在x>0时为减函数，且1+ξ1/(1+x)。

该定理给出了导函数连续的一个充分条件。注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。

函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。

人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。

这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.。

意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

t=1/n

lnx  

中值定理

• 用拉格朗日中值定理证明:当x>0时,ln(1+x)-lnx>1/1+x

  数学

  作业帮用户2017-11-07

• 证明：
  令f(x)=lnx
  由拉格朗日中值定理,存在一点ξ∈(x,x+1)使得
  f'(ξ)=[f(x+1)-f(x)]/(x+1-x)=f(x+1)-f(x)
  =ln'(ξ+1)=1/(ξ+1)
  由于函数1/x在x>0时为减函数,且1+ξ1/(1+x)
  原命题得证

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没看懂

追答

构造函数f(x)=ln(1+x)-x,（x>0）
则f'(x)==1/（1+x)-1=-x/(1+x)0上単减
因此f(x)0）
用1/n（n∈N*)代x,得ln[1+(1/n)]0）
则g'(x)=x/(x+1)^2>0
所以g(x)在x>0上单增，因此
g(x)=ln(1+x)-x/(x+1)>g(0)=0即
ln(1+x)>x/(x+1)（x>0）
用1/n（n∈N*)代x得ln[1+(1/n)]>(1/n)/[(1/n)+1]所以
ln[1+(1/n)]>1/(1+n)
由上可得1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n,n取正整数
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嗯嗯 懂了 谢谢