Question

非对称矩阵的二次型实对称化后惯性指数会变么

这道题的第二问，通过实对称化A解出来f（x）=x^TA^2x的正惯性系数是3，通过直接算出A^2后再实对称化，解出来的特征值就含0了，请问这是为什么

Answer 1

1、含平方项的情形用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3 --把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补 = (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3 --然后同样处理含x2的项 = (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2 2、不含平方项的情形比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3 令 x1=y1+y2, x2=y1-y2 代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理 3、特征值方法写出二次型的矩阵求出矩阵的特征值求出相应的特征向量矩阵半正定和正定判定：实对称矩阵A正定 A合同于单位矩阵 A的特征值都大于0 X'AX的正惯性指数 = n A的顺序主子式都大于0 实对称矩阵A半正定 A合同于分块矩阵(Er,O; O,O) , rA的特征值都大于等于0, 且至少有一个特征值等于0 X'AX的正惯性指数 p < n.