Question

根号下1-X2 的原函数为？

Answer 1

根号下1-X2 的原函数½(arcsinx+x√(1-x²))

令x=sint,-π/2≤t≤π/2∫√(1-x²)=∫costd(sint)=∫cos²tdt=½∫(1+cos2t)dt=½(t+½sin2t)+C=½(arcsinx+x√(1-x²))+C对½(arcsinx+x√(1-x²))求导就得到根号1-x²。

已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

例如：sinx是cosx的原函数。

扩展资料：

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，

故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

Answer 2

根号下1-X2 的原函数½(arcsinx+x√(1-x²))

令x=sint,-π/2≤t≤π/2
∫√(1-x²)=∫costd(sint)=∫cos²tdt=½∫(1+cos2t)dt=½(t+½sin2t)+C=½(arcsinx+x√(1-x²))+C
对½(arcsinx+x√(1-x²))求导就得到根号1-x²。

基本积分公式：

• ∫0dx=C

• ∫1dx=∫dx=x + C

• ∫x^a dx=(x^(a+1)) /(a+1) + C (a≠-1,x>0)

• ∫1/x dx=ln|x|+C (x≠0)

• ∫e^x dx=e^x + C

• ∫a^x dx=a^x/lna + C (a>0,a≠0)

• ∫cosax dx=(1/a)sinax + C (a≠0)

• ∫sinax dx=-(1/a)cosax + C (a≠0)

• ∫sex²x dx=tanx + C

• ∫csc²x dx=-cotx +C

• ∫dx/√(1-x²)=arc sinx + C=-arc cosx + C

• ∫dx/(1+x²)=arc tanx + C=-arc cotx + C