Question

高数求二重积分

高数求二重积分不会做 求详细解

Answer 1

∵x²+y²-2≥0时，丨x²+y²-2丨=x²+y²-2；x²+y²-2<0时，丨x²+y²-2丨=-(x²+y²-2)，∴将D拆分D1∪D2，其中D1={(x,y)丨0≤x²+y²<2}、D2={(x,y)丨2≤x²+y²≤3}。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤2π，0≤ρ<√2、√2≤ρ≤√3。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,√2)(2-ρ²)ρdρ+∫(0,2π)dθ∫(√2,√3)(ρ²-2)ρdρ=2π+π/2=5π/2。
供参考。

Answer 2

18. 将 D 分为 D1: x^2+y^2 ≤ 2 和 D2 = D - D1两部分。化为极坐标
I = ∫∫<D1> + ∫∫<D2>
= ∫<0, 2π>dt [∫<0, √2>(2-r^2)rdr + ∫<√2, √3>(r^2-2)rdr]
= 2π { [r^2-(1/4)r^4]<0, √2> + [(1/4)r^4-r^2]<√2, √3> }
= 2π (1 + 1/4) = 5π/2