Question

证明一个域的素子域等于该域所有子域的交

关于近世代数

Answer 1

若F是完全域，G是F的代数扩张，假定G不完全，那么存在G上的不可约多项式g(x)使得g(x)有重根a，由于a是F上的代数元。

设f(x)是a在F上的极小多项式，那么f(x)和g(x)的最大公因子就是g(x)（否则与g(x)不可约矛盾），即g(x)|f(x)，这样a就是f(x)重根，这又与F是完全域矛盾。

域是许多数学分支(如代数、代数数论、代数几何等)研究的基础，而有限域则在近代编码、正交试验设计和计算机理论中都有重要应用，通过理想来研究环，这是研究环的基本方法。

但是，由于域只有平凡理想，因此无法通过域的理想来研究域，要研究域，必须采取别的方法，其中最基本的方法就是通过对域添加若干元进行扩张，域的扩张起源于数域的扩张。

Answer 2

因为是域，则满足加法是交换群，乘法（不含零元）是群，以及满足乘法对加法的分配律。而加法交换群中，单位元是0乘法群中，单位元是1因此0，1必然属于这个域，那么由加法交换群，得知1，1+1=2，2+1=3，., 必然属于这个域以及他们的逆元-1，-2，-3，都属于这个域从而该域包含整数集。而再根据乘法群，得知，非零整数的逆元（倒数），必然属于这个域以及这些倒数乘以任意整数（得到全部有理数），都属于这个域