Question

数学分析证明题求解析

如图

Answer 1

先证明(1+x)^n≥1+nx对任意x∈(-1,∞)和正整数n都成立

n=1时命题成立

假设n=k时命题成立,即(1+x)^k≥1+kx
因x>-1,两边乘以(1+x)後不等号方向不变,有
(1+x)^(k+1)≥(1+kx)(1+x)
=1+(k+1)x+kx²
≥1+(k+1)x
即n=k+1时命题成立
所以(1+x)^n≥1+nx对任意x∈(-1,∞)和正整数n都成立
取等条件是kx²=0,即x=0
所以当且仅当x=0时,有(1+x)^n=1+nx=1

追问

明白了，谢谢你！

Answer 2

函数求导法是单变量不等式最基本的方法。
f（h)=（1+h）^n-（1+nh）
f'(h)=n（1+h）^（n-1）-n
当-1＜h＜0时f'＜0
当h＞0时f'＞0
所以f 在h=0时取得最小值0
因此f（h）≥0

追答

这题目应该是求导的前置定理

不能用求导证明

应该用归纳法，囧😓

让我仔细想想，这个跟幂函数求导法则有关吗？

有关就不可以用，无关就可以用

追问

答案说先用反证法证h≥0

这一步我不会

后面再推h＝0我就做出来了

追答

是可以用的。
因此最直接的办法有两种
1求导（单变量不等式）
2归纳法（跟n有关）
这两种方法可以说是最基本的证明方法

追问

你说的求导法则是无关的。。。但这章内容就只有绝对值不等式和伯努利不等式

追答

归纳法很容易

采纳另一个答案吧

追问

归纳法试过，搞不定。。。

追答

另一个答案写得非常清楚了。

追问

额额我看看

okok，也谢谢你👍🏻