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先证明(1+x)^n≥1+nx对任意x∈(-1,∞)和正整数n都成立
n=1时命题成立
假设n=k时命题成立,即(1+x)^k≥1+kx
因x>-1,两边乘以(1+x)後不等号方向不变,有
(1+x)^(k+1)≥(1+kx)(1+x)
=1+(k+1)x+kx²
≥1+(k+1)x
即n=k+1时命题成立
所以(1+x)^n≥1+nx对任意x∈(-1,∞)和正整数n都成立
取等条件是kx²=0,即x=0
所以当且仅当x=0时,有(1+x)^n=1+nx=1
n=1时命题成立
假设n=k时命题成立,即(1+x)^k≥1+kx
因x>-1,两边乘以(1+x)後不等号方向不变,有
(1+x)^(k+1)≥(1+kx)(1+x)
=1+(k+1)x+kx²
≥1+(k+1)x
即n=k+1时命题成立
所以(1+x)^n≥1+nx对任意x∈(-1,∞)和正整数n都成立
取等条件是kx²=0,即x=0
所以当且仅当x=0时,有(1+x)^n=1+nx=1
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