数学分析证明题求解析

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sumeragi693
高粉答主

2020-04-18 · 说的都是干货,快来关注
知道大有可为答主
回答量:3.8万
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先证明(1+x)^n≥1+nx对任意x∈(-1,∞)和正整数n都成立

n=1时命题成立

假设n=k时命题成立,即(1+x)^k≥1+kx
因x>-1,两边乘以(1+x)後不等号方向不变,有
(1+x)^(k+1)≥(1+kx)(1+x)
=1+(k+1)x+kx²
≥1+(k+1)x
即n=k+1时命题成立
所以(1+x)^n≥1+nx对任意x∈(-1,∞)和正整数n都成立
取等条件是kx²=0,即x=0
所以当且仅当x=0时,有(1+x)^n=1+nx=1
追问
明白了,谢谢你!
zhruicaiIJ
2020-04-18 · TA获得超过287个赞
知道小有建树答主
回答量:492
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函数求导法是单变量不等式最基本的方法。
f(h)=(1+h)^n-(1+nh)
f'(h)=n(1+h)^(n-1)-n
当-1<h<0时f'<0
当h>0时f'>0
所以f 在h=0时取得最小值0
因此f(h)≥0
更多追问追答
追答
这题目应该是求导的前置定理
不能用求导证明
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