Question

一道高数题求解

第二小题咋做

Answer 1

令f(x)=e^x+x^(2n+1)
则f(-1)=1/e-1<0
f(0)=1>0
则f(-1)*f(0)<0
根据零点定理,在x∈(-1,0) 内，必定存在x=xn使得f(xn)=0成立！
而f'(x)=e^x+（2n+1）x^2n
显然，x∈(-1,0)时，f'(x)>0
则函数f(x)单增！
所以在x∈(-1,0) 内，必定存在唯一x=xn使得f(xn)=0成立
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先证明: Xn随着n增大递减，
如假设n=k时，有e^(Xk)+(Xk)^(2k+1)=0，
当我们取n'=k+1时，
因为(Xk)^(2n'+1)> (Xk)^(2k+1)。
有e^(Xk)+(Xk)^(2n'+1)>0
可知，应有Xn‘<Xn。所以Xn是个单调递减的数列，而它又是有界的，
由 单调有界必有极限 可得，limn→∞ Xn存在。
当趋近于极限时，应有，
e^xn+xn^(2n+1)=0，
且应有当n‘=n+1时，xn'=xn，
e^xn’+xn‘^(2n’+1)=0。
所以有xn‘^(2n’+1)=xn^(2n+1)，
即xn^2=1，所以xn=-1，
xn不可能大于0，舍去xn=1的值。